内角和公式(三角形内角和定理及推论的应用)

内角和公式
三角形内角和定理以及它的推论,是一个非常简洁好用的定理,很多角度的问题没有了它的支撑,将无法完成,下面我们一起来见证它的神奇应用吧。
例1、如图,求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C
思路1:用三角形内角和定理:连结BC,在△ABC和△DBC中,有∠A+∠B+∠C=180°-(∠DBC+∠DCB),∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB),从而有结论。
思路2:用三角形内角和定理推论
方法1、如图1,连结AD并延长,∠BDE是△ABD的一个外角,∠CDE是△ADC的一个外角,用外角等于不相邻两个内角的和,可得结论。
方法2、见图2,延长BD交AC于E,∠DEC是△ABE的一个外角,∠BDC是△DCE的一个外角,同样可得结论。

 
说明:在寻找几个角之间的关系时,如果图中没有基本图形,通过作辅助线,构造基本图形三角形是常用的方法。
变式练习:
下面这题你会解吗?
(1)如图1,有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C,若△ABC中,∠A=40°,则∠ABX+∠ACX=______度,
(2)如图2,改变(1)中直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化?若变化,请举例说明;若不变化,请求出∠ABX+∠ACX的大小;
(3)如果(1)中的其它条件不变,把“∠A=40°”改成“∠A=n°”,请直接写出∠ABX+∠ACX的大小.
简析:本题直接用例1结论就可。答案:(1)50°。(2)不变。(3)90°-n。
例2、Rt△ABC中,∠C=90°,点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图(1)所示,且∠α=50°,则∠1+∠2=______°;(2)若点P在边AB上运动,如图(2)所示,则∠α、∠1、∠2之间有何关系?(3)若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动(CE<CD),则∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由。
 
分析:(1)如下图1,只要连结PC,用三角形定理推论,很快得到∠1、∠2、∠α、∠C的关系是∠1+∠2=∠α+∠C,与点P在AB上的位置无关,第(1)、(2)同时解决。
(2)点P在AB延长线上,需要考虑P、D、E三点的位置状况,分三种情况讨论①点D在线段PE上方②,D在线段PE上,③D在线段PE下方。见下图2,图3,图4。
 
 答案:(1)140°,(2)∠1+∠2=∠α+90°,(3)①点D在PE上方,∠2=90°+∠1+∠α②点D在PE上,此时∠α=0°,∠2=90°+∠1,
③点D在PE下方,∠2=90°+∠1-∠α,
例3、已知△ABC中,∠ABC=∠ACB,D为线段CB上一点(不与C,B重合),点E为射线CA上一点,∠ADE=∠AED,设∠BAD=α,∠CDE=β.
(1)如图(1),
①若∠BAC=42°,∠DAE=30°,则α=          ,β=              .
②写出α与β的数量关系,并说明理由;
(2)如图(2),当E点在CA的延长线上时,其它条件不变,请写出α与β的数量关系,并说明理由.
(3)如图(3),若点D在CB的延长线上,根据已知补全图形,并直接写出α与β的数量关系

 分析:(1)如图(1),∠AED是△DEC的一个外角,∠ADC是△ABD的一个外角,可得关系式α=2β.
(2)如图(2),∠ADC是△ABD的一个外角,在△EDC中,根据三角形内角和定理可得一个等量关系式,消去未知量,可得关系式2β-α=180°,
(3)如图(3),同法可得2β+α=180°。

 
    三角形内角和定理及推论在几何中的地位不可小看,同学们可得好好认识它,在解题中领悟其中的奥妙。

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